Johdonmukainen Hinnoittelu Of Fx Optiot

FX Optionsin johdonmukainen hinnoittelu.1 FX Optionsin johdonmukainen hinnoittelu Antonio Castagna Fabio Mercurio Banca IMI, Milano Nykyisillä markkinoilla vaihtoehtoja, joilla on erilaisia ​​lakkoja tai maturiteetteja, yleensä hinnoitellaan erilaisilla implisiittisillä volatiliteilla. Tämä tyylitelty tosiasia, jota yleisesti kutsutaan hymyileväksi , Voidaan majoittaa turvautumalla tiettyihin malleihin joko eksoottisten johdannaisten hinnoittelulle tai implisiittisten volatiliteettien laskemiseksi noteeraamattomille lakkoille tai maturiteeteille. Entinen tehtävä saavutetaan tyypillisesti ottamalla käyttöön vaihtoehtoista dynamiikkaa taustalla olevan omaisuushinnan osalta, kun taas jälkimmäistä käsitellään usein Staattisista oikaisuista tai interpolaatioista Tässä artikkelissa käsitellään tätä jälkimmäistä kysymystä ja analysoidaan mahdollinen ratkaisu valuutanvaihtovaihtoehtoisilla optiomarkkinoilla. Tällaisilla markkinoilla on tosiasiassa vain kolme aktiivista lainaa jokaisesta markkinoiden maturiteetista, kontrasti, riski Käänteinen ja vega-painotettu perhonen, mikä antaa meille ongelman johdonmukaisesta määrityksestä Muiden epäsuorien volatiliteettien suhteen FX-välittäjät ja markkinatakaajat käsittelevät tätä kysymystä tyypillisesti empiirisellä menettelyllä, joka on nimeltään myös Vanna-Volga VV, koko hymyn rakentamiseksi tietylle maturiteetille. Vaihtelee 5: stä viiteen puheluun Seuraavassa tarkastelemme tätä markkinamene - telmää tietylle valuutalle. Erityisesti saadaan suljetun muodon kaavat, jotta sen rakennetta voidaan selkeyttää. Testaamme sitten kestävyyden staattisessa Tuloksena syntyvän hymyn tunne, koska muuttuessa johdonmukaisesti kolmen alkuparin lakko ja volatiliteetti tuottavat lopulta saman implisiittisen volatiliteettikuvion. Osoitamme myös, että sama menettelytapa, jota sovelletaan Europeanstyle-vaatimuksiin, on yhdenmukainen staattisen replikaation tulosten kanssa ja pitää esimerkkinä , Eurooppalaisen vaihtoehdon konkreettinen tapaus Lopuksi todistamme, että markkinamenettely voidaan myös perustella dynaamisesti, määrittelemällä suojaus Strategia, joka on paikallisesti toistuva ja itsensä rahoittava 2 Lyhyt kuvaus valuuttamarkkinoilla FX-optioiden markkinoilla volatiliteettimatriisi on rakennettu tahmean Delta-säännön mukaisesti. Taustalla oleva oletus on, että vaihtoehdot ovat hinnoiteltuja riippuen Delta-luokituksestaan Kun kohde-etuuden hinta liikkuu ja optio Delta muuttuu vastaavasti, hintarakenteeseen 1.2 on liitettävä eri implisiittinen volatiliteetti 1.2. FX-optiot markkinat ovat erittäin likvidejä, suhteellisen pitkään päivätyiksi 2 vuoden pituisiksi, ainakin euroiksi USD: n kurssit Rahavirtaa säästävä ATM: n volatiliteetti on helposti saatavilla ja myös 25: n puhelun ja puton riskipalautus RR ja 25: lla siivekkeellä varustettua vega-painotettua perhovelkkaa (VWB) 1 Näistä tiedoista voidaan helposti päätellä, Volatiliteetit, joista voidaan sitten rakentaa koko hymy alueelle, joka kulkee 5: stä viiteen puheluun menetelmän mukaisesti, jonka me esitämme alla. Osoitamme S: llä tietyn vaihtoehdon arvo Korko hetkellä t ja ottamaan vastaan ​​vakio - ja ulkomaiset riskittömät korot, joita merkitään vastaavasti rd: llä ja rf: llä. Seuraavaksi tarkastelemme markkinoiden kypsyyttä T ja määritämme niihin liittyvät kurssit seuraavassa FX-markkinoilla noteeratun ATM-volatiliteetin on Joka loukkaantuu jokaisen tiettynä ajanjaksona, niin että putki ja puhelu ovat samoja mutta eri merkkejä, ei suojausta tarvita, kun tämä kauppaketju käy kauppaa. Ilmoittaa AT: llä ATM: n aikakatkaisuvaiheen ATM: n volatiliteetti, ATM-lakko K AT M: n on tällöin täytettävä S u rf TK AT M rdrf 2 AT MT e rf T ln SK AT M rdrf 2 AT MT AT MT AT MT, jossa on kumulatiivinen normaali normaalijakautumistoiminto Suora algebra johtaa K AT MS e rd rf 2 AT MT 1 RR on tyypillinen rakenne, jossa yksi osuu puheluun ja myy symmetrisen kappaleen. RR mainitaan kahden implisiittisen volatiliteetin, 25 c: n ja 25 p: n välisen eron, kytkemiseksi Black - ja Scholes-kaavaan Soittaa ja laittaa vastaavasti Denotin G tällainen hinta volatiliteettia RR: llä, meillä on 2 RR 25 c 25 p 2 VWB rakennetaan myymällä ATM-konttin ja ostamaan 25 tyrannystä Vega-painotettuun määrään Pienempi kuin jälkimmäisen määrä, koska konttialuksen Vega on suurempi kuin kuristeen Vega. VWB 25: ssä määritellään perhonen hinnan volatiliteettia, VWB, 25 c 2 p 2 AT M 3. , Kaksi implisiittistä haihtuvuutta 25 c ja 25 p voidaan välittömästi tunnistaa ratkaisemalla lineaarinen järjestelmä saamme 25 c AT MVWB RR 4 1 Pudotamme merkin sen jälkeen, kun se on markkina-ammattisijoituksen vuoksi. Puhelu, jonka Delta on 25 Analogisesti, 25 put on sellainen, jonka Delta on Positiivinen RR tarkoittaa, että puhelua suositaan, koska sen implisiittinen volatiliteetti on korkeampi kuin negatiivisen numeron implisiittinen haihtuvuus merkitsee päinvastaista. 2.3 25 p AT MVWB 1 2 RR 5 Kahden 25: n 25: n ja 25: n puheen vastainen lakko voidaan johtaa takana Er yksinkertaista algebraa muistelemalla niiden vastaavia määritelmiä Esimerkiksi 25: lle laitokselle täytyy olla sellainen, joka johtaa välittömästi t rn S 5 prdrf 2 25 p T 25 25 p T 5 p S e 25 p T rdrf 2 25 p T 6, jossa 1 1 4 erf T ja 1 on käänteinen normaalijakaumatoiminto Samalla tavalla saadaan myös 5 c S e 25 c T rdrf 2 25 c T 7 Korostamme, että tyypillisille markkinaparametreille ja enintään kahden vuoden maturiteeteille, Ja 3 5 p K AT M 5 c Seuraavassa jaksossa kerrotaan, miten käyttää perusnäköisiä volatiliteetteja ja niihin liittyviä lakkoja, jotta johdonmukaisesti päätettäisiin koko hymy annetulla päättymisellä T. Tätä varten työskentelemme yhdessä Samankaltaiset vaihtoehdot, kuten puhelut, jotka tarkastelevat suoraan markkinahintojaan volatiliteettien sijasta Merkitsemisen lieventämiseksi ja tulevien kaavojen yksinkertaistamiseksi merkitsemmekin lainauskertoimet tietyn maturiteetin T kanssa K i, i 1, 2, 3, K 3, 4 Ja asetetaan K Vastaavat markkina-option hinnat, joita merkitään C MKT: llä, C MKT: llä ja C MKT K 3: llä, ovat ass 3 VV: n empiirinen markkinamenettely Harkitse eurooppalaista optio-oikeutta, jonka maturiteetti T ja lakko K, jonka Black - ja Scholes-hinta, ajankohtana t, merkitään C BS t K, ln S t C BS T t t t e t t e t t e t t e t t e t t e t e t t e t e t t e t t e t t e t t t e t t t e t t t e t t t i i t e t t t t t i t t i t t t t t t t t t t t t t t, On toistettava dynaamisella suojausstrategialla, jonka pankkitilien kattava alkuarvo vastaa optiohintaa 8 Todellisten rahoitusmarkkinoiden volatiliteettia 3 Pitkän maturiteetin vuoksi on markkinakäytäntöä harkita termiinikohtaista valuuttakurssia ATM-lakkoina 4 ja K 3 korvaavat vastaavasti 5 p, K AT M ja 5 c 3,4 ovat stokastisia ja kauppiaat suojaavat liittyvän riskin rakentamalla Vega-neutraaleja salkkuja FX-option markkinoiden erityisluonteen vuoksi portfoliot voidaan myös rakentaa vastaamaan Osittaiset johdannaiset toiselle järjestykselle asti, niin että b Y Ito: n lemma, meillä on täydellinen suojaus ääretön aikaväli, ks. Myös osasto 9 Empiirinen menettely perustuu tällaisen suojausportaalin syntymiseen edellä mainitulle puhelulle, maturiteetilla T ja strike K Tarkasti, haluamme löytää aika - T painaa x 1 t K, x 2 t K ja x 3 t K siten, että vastaava eurooppalaisia ​​puhelutarjouksia, joiden maturiteetti T ja lakot, sekä K 3, suojaavat puhelun hintavaihtelut, joiden maturiteetti T ja lakko K, Taustalla olevan toisen kertaluvun ja volatiliteetin olettaen suojatun positiota ja koska BS-maailmassa satunnais-vanilusarjan salkut, joilla on sama maturiteetti, jotka ovat Vega-neutraaleja, ovat myös gamma-neutraali, painot x 1 t K , X 2 t K ja x 3 t K löytyvät asettamalla siihen, että toisinnussisältöllä on sama Vega, dvegadvol volga ja dvegadspot vanna kuin lakko K, nimittäin C BS t K 2 C BS t K 2 2 C BS S tt K BS C xit K t K ixit K 2 C BS 2 t K ixit K 2 C BS S tt K i 9 Merkinnät V t K Euroopan vaihtoehdon aika-t Vega, jonka maturiteetti T ja strike K, V t KC BS t KS te rf d 1 t K d 1 t K ln S t K rd rf 2 xx 1 e 1 2 x2 2 1 ja laskemalla Toissijaiset johdannaiset voimme todistaa seuraavan 2 C BS V t K t K d 2 1 t K d 2 t K 2 C BS V t K t KS t S td 2 t K d 2 t K d 1 t K 4,5 Ehdotus 3 1 Järjestelmä 9 myöntää aina ainutlaatuisen ratkaisun, joka saadaan x 1 t K x 2 t K x 3 t KV t K ln KKV t ln V t KV t V t KV t K 3 ln KK ln ln K ln K 11 Erityisesti jos KK j sitten xit K 1 ij: lle ja nollalle muuten Todiste Katso liite 4 Saatu optiohinta Voimme nyt jatkaa optio-hinnan määritelmää, joka vastaa perusvaihtoehtojen markkinahintoja Hymy-johdonmukainen Hintatarjoushinta K: n kanssa saadaan lisäämällä BS-hintaan edellä mainitun suojausstrategian toteuttamiskustannukset vallitsevilla markkinahinnoilla Kaavoissa t, CKC BS K xi KC MKT K i C BS K i 12, Merkintä, riippuvuus v Aluetoika t jätetään tämän jälkeen pois nollasta 5 Uusi vaihto-hinta määritellään siten lisäämällä tasaiseen hintatasoon BS: n hinta markkinoiden epäsuorien volatiliteettien aiheuttaman suojauslaskennan kustannuserosta suhteessa vakaan volatiliteetin tasoon Optio-ohjelman luotettavuus ja johdonmukaisuus Hinta 12 annetaan alla Kun KK j on selvästi CK j C MKT Kj, koska xi K 1 ij: lle ja nollalle muuten Siksi 12 ei määritä mitään muuta kuin sääntöä joko interpoloimasta tai ekstrapoloimasta hintoja kolmesta vaihtoehdoista C MKT, C MKT ja C MKT K 3 Markkinoiden implisiittinen volatiliteettikäyrä voidaan sitten rakentaa kääntämällä 12 jokaista harkittua K: ta varten BS-kaavalla Esimerkki tällaisesta käyrästä annetaan kuviossa 1, jossa kuvaillaan implisiittisiä volatiliteetteja sekä lakkoja että Vastaan ​​put Deltas Käytämme seuraavia EUR-USD-tietoja 1. heinäkuuta 25. T 3m 94 365y, S 1 25, AT M 9 5, RR 5, VWB 13, jotka johtavat 25 c 8 93, 5 c 9 5, 25 p 9 43, K ATM 5 p ja 5 c Katso myös Tab Les 1 ja 2 5 Tämä hinta riippuu volatiliteettiparametrista Käytännössä tyypillinen valinta on asettaa AT M 5.6 Volatiliteetti Strike Put Delta Kuva 1 EUR USD: n implisiittiset volatiliteetit piirretään sekä lakkoja että Deltas-pisteitä vastaan, joissa kolme markkinaehtoista lainausmerkkiä korostetaan Vaihtoehtokurssi CK lakko K: n funktiona täyttää seuraavat noarbitraasiolosuhteet i CC 2, ii lim KCKS e rf T ja lim KCK iii lim dc KK dk e rdt ja lim KK dc K dk Toinen ja kolmas ominaisuus, Jotka C: n BS K: n kannalta ovat tyytymättömiä, johtuvat siitä tosiasiasta, että kullakin i: llä sekä xi K että dx i K dK menevät nollaan K: lle tai K: lle vältettäisiin arbitraasi mahdollisuuksien välttämiseksi option hinta CK: Lakko K, eli 2 C d K jokaiselle K: lle Tämä ominaisuus, joka ei ole totta yleisessä muodossa, 6 kuitenkin pitää tyypillisiä markkinaparametreja, joten 12 johtaa todellisuudessa hintoihin, jotka ovat käytännössä vapaita arbitraaseja. Volatiliteetit Edellä määritelty vaihtoehto Hinta yhdistettynä analyyttiseen kaavaan 11 painoihin, mahdollistaa suoran lähentämisen johtamisen 11 liittyvälle implisiittiselle volatiliteetille. Tätä kuvataan seuraavassa Ehdotuksessa 5 1 Edellä olevan vaihtoehdon hintaa CK koskeva implisiittinen volatiliteetti k on noin K 1 K ln KK ln 25 p ln KK ln ATM ln K ln K 25 c 13 6 Tosiasiassa voidaan löytää tapauksia, joissa epätasa-arvoa loukataan eräissä lakkoissa K 6.7 todellinen hymy lähentäminen 11 tosi hymy approximation Strike Put Delta Kuva 2 EUR USD Implisiittiset volatiliteetit ja niiden approksimaatiot, piirretty sekä lakkoja että Deltas Proofia vastaan. Ks. Liite Implisiittinen volatiliteetti k voidaan näin ollen lähentää lineaarisella yhdistelmällä perusinilavuuksista yhdistelmillä yi K, että summa yhteen yhtä tylsiä mutta suoraviivaista algebraa osoittaa sen On myös helposti nähtävissä, että approksimaatio on ln K: n neliöllinen funktio, joten yksinkertainen parabolinen interpolointi voidaan ottaa käyttöön, kun lokin koordinaatit ovat Käytetty Kuvassa 2 on esitetty graafinen esitys approksimaation 13 hyvyydestä, jossa käytetään samoja EUR USD - tietoja kuin kuviossa 1. Lähestymistapa 13 on erittäin tarkka intervallin sisällä, K 3 Siipiä on kuitenkin ylikapasiteettia Itse asiassa logstriksen kvadraattinen funktionaalinen muoto, Lee 24: n johtamat ei-arbitraa - liset olosuhteet implisiittisten volatiliteettien asymptoottiselle arvolle täällä ovat ristiriidassa. Tämä haittapuoli on osoitettu toisella tarkemmalla approksimaatiolla, joka on asymptoottisesti vakio äärimmäisissä Lakko Proposition 5 2 Implisiittinen volatiliteetti k voidaan lähentää paremmin seuraavasti: k 2 K 2 d 1 K d 2 K 2 D 1 KD 2 K d 1 K d 2 KD 1 K ln KK ln 25 p ln KK ln ATM ln K Ln K 25 c 1 KD 2 K ln KK ln d 1 d 2 25 p 2 ln K ln K ln Kd 1 K 3 d 2 K 3 25 c 2 7, 14 K d ln 1 d 2 ATM 2,8 115 oikea hymy lähentäminen 115 todellinen hymy lähentäminen Strike Put Deltas Kuva 3 EUR USD implisiittiset volatiliteetit ja niiden approksimaatiot, piirretty sekä stri Kes ja Deltas ja d 1 x ln S xrdrf 2 T, d 2 xd 1 x T, x T Todistus Katso liite Kuten kuvasta 3 nähdään, likimääräinen 14 on erittäin tarkka myös siivissä. Sitä ei voida määritellä neliöjuurisen termin läsnäolon vuoksi. Radicand on kuitenkin positiivinen useimmissa käytännön sovelluksissa. 6 Ensimmäinen johdonmukaisuus tulos CK: lle. Mainitsemme nyt kaksi tärkeää johdonmukaisuuden tulosta, jotka pitävät optiohintaa 11 ja Jotka antavat lisätukea edellä mainitulle empiiriselle menettelylle Ensimmäinen tulos on seuraava Voidaan miettiä, mitä tapahtuu, jos käytämme käyrän rakentamismenetelmää, kun aloitetaan kolmesta muusta lakosta, joiden hinnat ovat samansuuruisia kuin kaavan 12 mukaiset. Voimakas, haluaisimme, että nämä kaksi käyrää täsmälleen yhtyvät. Tarkastelemme itse asiassa uutta joukkoa iskuja H ja merkitään edelliset painot xi K xi KK: lla korostamaan riippuvuutta alkuvaroitusten joukosta. Analogisesti xi KH wi Ll merkitsevät lakon K painot, jotka on johdettu uudesta joukko-iskuista H Vaihto-hinta kunkin H: n osalta on oletuksena yhtä suuri kuin 12: stä, eli CHH i CKH i C BS H ixj H i KCK j C BS K j 15 j 1 8.9 missä superskriptit H ja K korostavat lakko-sarjan, jonka hinnoitteluprosessi perustuu Yleisen lakon K tapauksessa H: hen liittyvä vaihtoehtohinta määräytyy vastaavasti 12: n mukaan CHKC BS K xj KHCHH: n J C BS Hjj 1 Ehdotus 6 1 H-hinnoittelu perustuu H: n perustuviin hintoihin eli jokaiseen lakkoon K, CHKCKK 16 Todiste Katso liite 7 Toinen johdonmukaisuus tulos CKA: n toisesta johdonmukaisuudesta, joka voidaan Joka on todistettu vaihtoehdon hinnasta 11, koskee eurooppalaistyyppisten johdannaisten hinnoittelua ja niiden staattista kopiointia. Oletetaan, että h on todellinen funktio, joka määritellään, käyttäytyy äärettömyydellä ja on kahdesti eriytetty jakautumisessa. Yksinkertainen vaatimus, jolla on voitto hs T at ti Me T, merkitsimme V: n hinnalla hetkellä, kun otetaan huomioon hymyvaikutus Carr ja Madan 1998, meillä on V e rdt h S e rf T hhxcx dx Samaa päättelyä, joka oli aiemmin annettu implisiittisen volatiliteettikäyrän Voidaan soveltaa yleiseen maksuhäiriöön h T T voi näin ollen muodostaa eurooppalaisia ​​puhelutarjouksia, joiden maturiteetti T ja strikes, ja K 3, niin että salkussa on sama Vega, dvegadvol ja dvegadspot kuin annettu johdannainen. Hinta Black and Scholes 1973 - mallin alapuolella, tämä saavutetaan etsimällä painot xh 1, xh 2 ja xh 3 siten, että V BS 2 V BS 2 2 V BS S xhixhixhi C BS K i 2 C BS 2 K i 2 C BS SK Jotka ovat aina ainutlaatuisia, kuten on jo todettu ehdotuksessa 3 1 Voimme sitten määritellä uuden hymyn johdonmukaisen hinnan johdannossamme VV BS xhi CK i C BS K i 17 9.10 Ehdotus 7 1 Vahvistushinta, joka vastaa option hintoja C on yhtä suuri kuin vaatimushinta, joka saadaan säätämällä Black ja Schol Suojauslaskennan kustannuserona, kun käytetään markkinahintoja CK i vakaan volatiliteetin hintojen sijasta C BS K i Kaavoissa VV Proof Katso liite Tämä ehdotus esittää selkeän johdonmukaisuuden tuloksen eurooppalaisille yksinkertaisille vaatimuksille Itse asiassa, jos Lasketaan suojaavan salkun tasaiselle volatiliteetille ja lisätään Black - ja Scholes-malliin laskettu korvaushinta, joka vastaa suojauslaskennan markkinahinnan kustannuseroa vähennettynä vakaan volatiliteetin hinnalla, otamme täsmällisesti saatavien hinnan, Neutraali tiheys, joka johtuu markkinoiden hymiöiden mukaisista soitonsiirtohinnoista. Tämä hyödyllinen tulos tullaan soveltamaan seuraavassa jaksossa eri vaihtoehtojen erityistapaukseen. 8 Esimerkkinä hintatarjous yhden vaihtoehdon johdonmukaisesta hinnoittelusta Koska vaihtoehto on johdannaispalkkio Maturiteetilla T summa s TX ulkomaan valuutassa, joka vastaa s TXST kotivaluutassa, jossa 1 puhelun ja 1 Put Standard-argumentit staattiselle kopioinnille tarkoittavat sitä, että puhelun ja puthin hinnat voidaan kirjoittaa tavallisen vanilainpuhelun ja hintojen mukaan seuraavasti QCall T, X 2 X QPut T, X XP X 2 CK dk XC XXPK dk 18 missä PX On toimitushinta lakko X: llä ja maturiteetilla T, eli PXCXS e rf TX e rdt Nyt tarkistamme todellisten markkinatietojen mukaan, että niin optiohinnat 18 ovat samansuuruiset kuin suojausperusteista tulevat hinnat 17 Tätä tarkoitusta varten käytämme markkinatietoja Taulukko 1: ssä ja 2: ssä raportoidut heinäkuun 25. päivät. Laskelmamme on esitetty taulukossa 3, jossa suojausperusteilla laskettuja vaihtoehtoisia hintoja, eli kaavaa 17, verrataan staattisiin kopiointihintoihin 18, jotka saadaan käyttämällä 5 Ja 3 vaiheet ja vastaavasti 15 ja 25 7 jatkuvan iskuvaihe 7 Näiden hintojen väliset prosentuaaliset erot näkyvät myös 7 Integraalit 18: ssä voidaan luonnollisesti laskea tehokkaammilla menetelmillä Tässä kuitenkin haluamme vain näyttää numeerisesti Korjata meidän pri Menettelytapa 1.11 Viimeinen USD diskonttauskerroin alennuskerroin 3m 3 1 y 3 7 Taulukko 1 Markkina-arvot 1.7. Alkaen 25 Delta 3M 1Y 25 Put ATM 25 Call Table 2 Kolmen pää Delta - tyyppiset vastaukset ja heilahtelut heinäkuun 1, 25 Tämän esimerkin tarkoituksena on myös osoittaa, että vaihtoehtoisten hintojen voidaan johdonmukaisesti noudattaa markkinoiden hymyä käyttämällä vain kolmea eurooppalaista vaihtoehtoa, eikä lakkojen jatkoa, kuten 18 9 Hinnoittelumenettelyn lujuus Päätä artikkeli motivoimalla empiiristä hinnoittelumenetelmää myös dynaamisesti. Ilmeisesti mielivaltainen lähestymistapa BS: n hintojen osittaisten johdannaisten nollaamiseen toiselle järjestykselle voidaan perustella sillä, että BS-malli on edelleen vertailuarvo optiolainan arvostamisessa Tämä tosiasia on useita syitä, lukuun ottamatta ilmeistä historiallista toteutettavuutta, ii malliparametrien selkeää ja intuitiivista merkitystä, iii helposti saatavissa olevia herkkyyksiä ja IV mahdollisuuksia Eksplisiittisiä kaavoja useimmille kannattaville malleille Mikään muu malli ei hallitse kaikkia näitä ominaisuuksia samanaikaisesti 8 Itse asiassa ei ole niin outoa käytäntöä käyttää FX-optiokirjaa uudelleenarvioimalla ja suojelemalla sitä tasaisen hymyn BS-mallin mukaan, vaikka ATM: n volatiliteetti Päivitetään jatkuvasti kaupankäyntitasolla 9 Nyt todistamme, että jos eurooppalaiset vaihtoehdot arvostetaan samassa stokastisessa implisiittisessä volatiliteetissa, sanotaan ATM: n volatiliteetti, suojauslaskennan arvonmuutokset paikallisesti seuraa tietyn puhelun arvoja. Pidämme yleistä aikaa t ja otetaan Ito-kaltainen dynamiikka volatiliteettia varten t Näin ollen Ito: n lemma, dc BS t KC BS t K dt C BS t K ds t C BS t K dtt SC BS t K ds 2 S 2 t 19 C BS t K d 2 2 t C BS t K ds tdt S 8 Mahdollinen poikkeus on Brigon, Mercurion ja Rapisardan epävarma parametrimalli 9 9 Jatkuvasti tyypillisesti päivittäinen tai hieman toistuva päivitys 11.12 Strike Expiry 3M 1Y 3M 1Y 3M 1Y Suojausperusteet Puhelu Aseta staattinen kopio Ioni 5 vaihetta Puhelu Pct Diff Put Pct Diff Staattinen replikaatio 3 vaihetta Puhelu Pct Diff Put Pct Diff Taulukko 3 Vertailu eri vaihtoehdoista, jotka on saatu kaavojen 17 ja 18 kautta Olettaen myös suojatun aseman ja että lakot K i ovat johdannaisia, Aika, saadaan välittömästi dc BS t KC BS t K xit K dc BS t K se C BS t K 1 2 C BS t K 2 S 2 C BS t K 2 2 2 C BS t KS xit KC BS t K i dt Txit KC BS t K idtxit K 2 C BS t K i S 2 xit K 2 C BS t K i 2 xit K 2 C BS t K i S ds t 2 dt 2 ds tdt Toinen, neljäs ja viides termi RHS: ssä 2 on nolla määritelmän mukaan painoilla xi, kun taas kolmas on nolla johtuen relaation linkitysvaihtoehdoista Gamma ja Vega BS-maailmassa Samasta syystä ja muistuttaen, että kukin vaihtoehto on suojattu, meillä on myös 2 12.13 Että C BS t K t dc BS t K xit KC BS t K i r C BS t K xit K dc BS t K i C d BS t K xit KC BS t K i 21 xit KC BS t K i dt 22 Ilmaisu Tämän yhtälön RHS tunnetaan ajoissa T Siksi pitkästä positiosta koostuva salkku, jossa on lakko K ja kolme lyhytaikaista positiota xit K: ssä, kutsutaan lakolla K i on paikallisesti riskitön hetkellä t, koska siinä ei ole stokastisia ehtoja. Kuten hyvin tiedetään, BS-paradigman ollessa pitkä puhelu lakko K: lla ja kohde-etuuden lyhyet C BS S-osakkeet vastaa paikallisesti riskittömän salkun hallintaa Kun volatiliteetti on stokastinen ja optiot arvostetaan edelleen BS-kaavalla, meillä voi silti olla paikallisesti Täydellinen suojaus edellyttäen, että meillä on sopivia määriä kolmea erilaista vaihtoehtoa. Voidaan miettiä, miksi tarvitsemme kolme vaihtoehtoa, joilla estetään epävarmuus stokastisen volatiliteetin vuoksi eikä vain sellainen, jota yleensä tapahtuu, kun otetaan käyttöön vielä yksiulotteinen satunnaislähde. Syy on kaksinkertainen Ensinnäkin emme käytä johdonmukaista mallia vaan vain arvostusmenettely Itse asiassa mikään kaksiulotteinen diffuusiokokastisen volatiliteetin malli ei voi tuottaa tasaisia ​​hymyjä kaikille maturiteeteille Toiseksi, emme ota erityistä dynamiikkaa taustalle ja volatiliteetille, vaan vain yleiselle diffuusioon. Tarvitsemme myös kolme vaihtoehtoa sulkea pois malliriski, koska suojausstrategiamme on johdettu riippumatta todellisesta varallisuudesta ja volatiilisuudesta Dynamiikka oletuksena ei hyppyjä 1 Päätelmät Olemme kuvittaneet markkinoiden empiiristä menettelyä implisiittisten volatiliteettikäyrien rakentamiseksi FX-markkinoilla Olemme havainneet, että hymy rakentaminen johtaa hinnoittelukaavaan mihin tahansa eurooppalaiseen tyyliin kuuluvaan vaatimukseen Olemme tämän jälkeen osoittaneet johdonmukaisuuden tuloksia Staattisen kopioinnin ja suojausperusteiden pohjalta hymyn rakentamismenetelmä ja siihen liittyvä hinnoittelukaava ovat melko yleisiä. Itse asiassa vaikka niitä on kehitetty valuutanvaihtovaihtoehdoiksi, niitä voidaan soveltaa millä tahansa markkinoilla, joilla on saatavissa kolme volatiliteettiluetteloa tietylle maturiteetille Viimeinen, ratkaisematon kysymys koskee eksoottisten vaihtoehtojen arvostusta empiirisen menettelyn jonkin verran Olen havainnut tämän artikkelin. Tämä on yleisesti melko monimutkainen asia käsitellä myös, kun otetaan huomioon, että nykyiset implisiittiset volatiliteetit sisältävät vain tietoja rajakohtaisista tiheyksistä, mikä tietenkään ei riitä arvostamaan polkuihin perustuvia johdannaisia. Ad-hoc - menettelyjä käytetään yleensä 13.14 Esimerkiksi esteiden optiohintoja voidaan saada punnitsemalla replikaatiostrategian kustannuserot riski-neutraalilla todennäköisyydellä estämään esteet ennen maturiteettia. Kuitenkin tällaisten mukautusten lisäksi on vaikeampaa perustella teoreettisesti Ne ovat tavallisessa vanilaintapauksessa, mutta käytännön näkökulmasta heillä voi olla jopa vastakkainen merkintä suhteessa markkinahintoihin nähden. Liite A todistukset Todisteen todistus 3 1 Järjestelmän 9 kirjoittaminen muodossa x 1 t KA X 2 t KB, x 3 t K suoraviivaisen algebran johdosta V t V t V t K 3 S 2 d 2 t K 3 d 1 td 2 td 2 td 1 t K 3 d 2 t K 3 T d 1 td 2 Td 2 t K 3 d 1 t K 3 d 2 T K 3 d 2 td 2 td 1 td 2 td 1 td 2 td 2 t Vt Vt Vt K 3 S 5 T 2 ln 23 joka on ehdottomasti positiivinen siitä lähtien K3. Siksi 9 myöntää ainutlaatuisen ratkaisun ja 11 seuraa Cramer s rule Testaus 5 1 Ensimmäisessä järjestyksessä yksi on CKC BS Kxi KVK iki, joka muistaa 11 ja se, että 3 xikvki VK johtaa CKC BS KVK yi KK i, jossa y 1 K ln KK ln Y 2 K ln KK ln y 3 K ln K ln K 14,15 Sitten 13 seuraa Taylor-laajennuksen CKC BS KVKK: n ensimmäisen järjestyksen ehdotuksesta 5 2 Toisessa järjestyksessä yksi on CKC BS K Analogisesti, jotta voimme kirjoittaa xi KVK iki C BS 2 2 K iki 2 CKC BS KVKKC BS KK 2 2 VKK xi KVK iki C BS KK 2 2, 2 C BS 2 K iki 2 Tämän algebrallisen toisen kertaluvun yhtälön ratkaiseminen k: ssä johtaa sitten 14 Proposition of 6 1 Tasaus 16 pysyy vain, jos xj KHCHH j C BS H jj 1 xi KKCK i C BS K i Käyttämällä 15 ja uudelleenjärjestelyjä, vasen puoli voidaan kirjoittaa seuraavasti: xj KHCHH j C BS H jj 1 xj K Joka on yhtä suuri kuin edellä mainitun tasa-arvon oikeanpuoleinen puoli, sillä jokaisen iskun K ja j 1, 2, 3, xi KK xj KH xi H j K 24 j 1, joka seuraa painavaa, mutta suoraviivaista kaavan 11 soveltamista painoihin 15.16 Proposition 7 1 todiste 1 Jokaiselle operaattorille L on LV BS L e rdt h S e rf T hh KC BS K Dk h K LC BS K dk, joka määritellään painojen xi K mukaan LV BS h K xi K LC BS K i dk h K xi K LC BS K i dk h K xi K dk LC BS K i Yksilöllisyys Painoista xhi meillä on siis xhi Korvataan 17, saamme VV BS V BS V BS h K h K xi K dk, i 1, 2, 3 h K xi K dk CK i C BS K ixi KCK i C BS K I dk V BS VV BS V h KCKC BS K dk 11 Liite B implisiittinen riski-neutraali tiheys VV-hinta 12 on määritelty asettamatta erityisiä oletuksia kohde-etuuden jakautumisesta. Kuitenkin kaikkien mahdollisten lakkojen optiolainojen tuntemus implisiittisesti Määrittää a Ainutlaatuinen riski-neutraali tiheys, joka on niiden kanssa yhteensopiva Itse asiassa 16.17 8 7 Vanna Volga BS Kuva 4 Vanna-Volga-riski-neutraali tiheys verrattuna lognormaaliin tulevasta BS-mallista ATM-volatiliteetillä yleisellä tuloksella Breeden ja Litzenberger 1978 , Valuuttakurssin ST riski-neutraali tiheys pT voidaan saada erottamalla kahdesti optiohinta 12 p TK e rd T 2 CK erd T 2 C BS K erd T i 2 xi KC MKT K i C BS K i 25 Ensimmäinen termi RHS: ssä on lognormaalinen tiheys p BS T, joka liittyy geometriseen Brownian-liikkeeseen ajautumisnopeudella rdrf ja volatiliteetilla. Toinen termi, joka poikkeaa VV-hymyn aiheuttamasta lognormaalisuudesta, on enemmän mukana ja se voidaan laskea eriyttämällä Kaksi kertaa painot 11 Saavutamme 2 x 1 KK 2 2 x 3 KK 2 VK 2 TV ln 2 T d 1 K ln K 3 VK 2 TVK 3 2 T d 1 K ln d1 K 2 T d 1 K 1 ln 2 T ln K 2K K 2 d 1 K 2 T d 1 K 1 ln 2 T ln K 1 K KKK ln KA: n riski-neutraali tiheys liittyy 12: ään on esitetty kuviossa 4, jossa sitä verrataan vastaavaan lognormaalitiheyteen BS BS 17.18 Referenssit 1 Musta, F ja Scholes, M 1973 Optioiden ja yritysvastuun hinnoittelu Poliittisen talouden lehti 81, 2 Breeden, DT ja Litzenberger, RH 1978 - Perusteellisia korvausvaatimuksia koskeva hinta Journal of Business 51, 3 Brigo, D Mercurio, F ja Rapisarda, F 24 Hymy epävarmuudella Riski 17 5, 4 Carr, PP ja Madan, DB 1998 Kohti volatiliteetin teoriaa VOLATILITY RA Jarrow Riskiraportit 5 Lee, RW 24 Äärimmäisen iskujen implisiittistä volatiliteettiaikaa koskeva matemaattinen kaava 14 3. FX Options - vaihtoehtojen kohtuullinen hinnoittelu Nykyisissä markkinoissa eri lakkojen tai maturiteettien vaihtoehtoja hinnoitellaan yleensä erilaisilla implisiittisillä volatiliteilla. Tämä tyylitelty tosiasia , Jota kutsutaan yleisesti "epämiellyttäväksi vaikutukseksi", voidaan majoittaa käyttämällä tiettyjä malleja joko eksoottisten johdannaisten hinnoittelulle tai implisiittisten volatiliteettien laskemiseksi lainaamattomille lakkoille tai Maturiteetit Entinen tehtävä saavutetaan tyypillisesti ottamalla käyttöön vaihtoehtoista dynamiikkaa kohde-etuuden hintaa varten, kun taas jälkimmäistä käsitellään usein staattisten sopeutusten tai interpolaatioiden avulla. Tässä artikkelissa käsitellään tätä jälkimmäistä kysymystä ja analysoidaan mahdollinen ratkaisu valuuttamarkkinoilla Valuuttamarkkinamarkkinat Tällaisilla markkinoilla on tosiasiassa vain kolme aktiivista lainaa kullekin markkinavuorolle 0Delta-haaksirikko, riskinmuutos ja vega-painotettu perhonen, mikä antaa meille ongelman muiden implisiittisten volatiliteettien. FX-välittäjät ja markkinatakaajat käsittelevät tätä ongelmaa tyypillisesti käyttämällä empiiristä menettelytapaa koko hymyn rakentamiseksi tietylle kypsyydelle Volatiliteettiluettelot annetaan sitten optio-Delta-termiin nähden 5Delta-5Delta-puheluun sijoitetuista alueista. Seuraavaksi tarkastelemme tätä markkinamene - telmää tietyllä valuutalla. Erityisesti saamme suljetun kaavan mukaiset kaavat, jotta sen rakentaminen Selkeämpi Seuraavaksi testataan kestävyys staattisessa mielessä saadusta hymystä, sillä muuttuessa johdonmukaisesti kolmen alkuparin lakko ja volatiliteetti tuottavat lopulta saman implisiittisen volatiliteetin käyrän. Osoitamme myös, että sama menettelytapa, jota sovelletaan Europeanstyle-vaatimuksiin, on johdonmukainen Kun otetaan huomioon staattisen replikaation tulokset ja pidämme esimerkkinä käytännön esimerkkiä eurooppalaisesta vaihtoehdosta. Lopuksi osoitamme, että markkinamenettely voi olla myös dynaamisin perustein perusteltu määrittelemällä paikannusstrategia, joka toistetaan paikallisesti ja rahoittaa itsensä. Avainsanat FX-vaihtoehto, hymy, yhtenäinen hinnoittelu, stokastinen volatiliteetti. JEL-luokitus G13. Suositeltu lainaus. Ehdotettu Citation. Castagna, Antonio ja Mercurio, Fabio, johdonmukainen hinnoittelu FX-vaihtoehdoista saatavilla SSRN: n tai. Iason Oy: n sähköpostilla. Nykyiset markkinat, eri lakkojen tai maturiteettien vaihtoehdot ovat yleensä hinnoiteltuja eri implisiittisten volatiliteettien kanssa. Tämä tyylitelty tosiasia , Jota kutsutaan yleisesti nimellä "hämmentävä vaikutus", voidaan majoittaa käyttämällä tiettyjä malleja joko eksoottisten johdannaisten hinnoittelulle tai implisiittisten volatiliteettien laskemiseksi noteeraamattomille lakkoille tai maturiteeteille. Entinen tehtävä tavallisesti saavutetaan ottamalla käyttöön vaihtoehtoista dynamiikkaa kohde-etuuden hintaa varten, Kun taas jälkimmäistä käsitellään usein staattisten sopeutusten tai interpolaatioiden avulla. Tässä artikkelissa käsitellään tätä jälkimmäistä kysymystä ja analysoidaan mahdollinen ratkaisu valuuttamarkkinoilla toimivilla FX-optioilla. Tällaisilla markkinoilla on tosiasiassa vain kolme aktiivista lainausta Jokaisen markkinoiden maturiteetiltaan 0Delta-haaksirikko, riskinmuutos ja vega-painotettu perhonen, mikä antaa meille ongelman muiden implisiittisten volatiliteettien johdonmukaisesta määrittämisestä. FX-välittäjät ja markkinatakaajat käsittelevät tätä ongelmaa tyypillisesti käyttämällä empiiristä menettelyä rakentaa Koko hymy tietystä kypsyydestä. Volatiliteettihuutokaupat annetaan sitten option s Delta, r: n osalta anges from the 5Delta put to the 5Delta call. In the following, we will review this market procedure for a given currency In particular, we will derive closed-form formulas so as to render its construction more explicit We will then test the robustness in a static sense of the resulting smile, in that changing consistently the three initial pairs of strike and volatility produces eventually the same implied volatility curve We will also show that the same procedure applied to Europeanstyle claims is consistent with static-replication results and consider, as an example, the practical case of a quanto European option We will finally prove that the market procedure can also be justified in dynamical terms, by defining a hedging strategy that is locally replicating and self-financing. Keywords FX option, smile, consisten pricing, stochastic volatility. JEL Classification G13.Suggested Citation Suggested Citation. Castagna, Antonio and Mercurio, Fabio, Consistent Pricing of FX Options Availabl e at SSRN or. Iason Ltd email.